Мундариҷа

• Маълумоти пешакӣ
• Қадамҳо
• Қисми 1 аз 3: Асосҳо
• Қисми 2 аз 3: Хусусиятҳои тағирёбии Лаплас
• Қисми 3 аз 3: Ҷустуҷӯи тағирёбии Лаплас бо тавсеаи силсила

Трансформатсияи Лаплас табдилдиҳии ҷудонашавандаест, ки барои ҳалли муодилаҳои дифференсиалӣ бо коэффисиентҳои доимӣ истифода мешавад. Ин тағирот дар физика ва муҳандисӣ васеъ истифода мешавад.

Гарчанде ки шумо метавонед ҷадвалҳои мувофиқро истифода баред, фаҳмидани тағирёбии Лаплас муфид аст, то шумо метавонед онро дар ҳолати зарурӣ анҷом диҳед.

Маълумоти пешакӣ

• Бо назардошти функсия ${ Displaystyle f (t)}$муайян карда шудааст ${ displaystyle t geq 0.}$ Сипас Табдили Лаплас вазифа ${ Displaystyle f (t)}$ вазифаи навбатии ҳар як арзиш аст ${ Displaystyle s}$, ки дар он интеграл ба ҳам наздик мешавад:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Трансформатсияи Лаплас функсияро аз минтақаи t (миқёси вақт) то s-минтақа (минтақаи трансформация) мегирад, ки дар он ${ displaystyle F (ҳо)}$ вазифаи мураккаби тағирёбандаи мураккаб аст. Он ба шумо имкон медиҳад, ки функсияро ба минтақае гузаронед, ки ҳалли онро осонтар пайдо кардан мумкин аст.
• Аён аст, ки табдилдиҳии Лаплас оператори хатӣ аст, бинобар ин, агар мо бо миқдори истилоҳот сарукор дошта бошем, ҳар як интегралро метавон алоҳида ҳисоб кард.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Дар хотир доред, ки тағирёбии Лаплас танҳо дар сурате кор мекунад, ки интеграл ба ҳам наздик шавад. Агар функсия ${ Displaystyle f (t)}$ дорои ихтилофҳо мебошад, барои пешгирӣ кардани номуайянӣ бояд эҳтиёткор бошед ва ҳудуди ҳамгироиро дуруст муқаррар кунед.

Қадамҳо

Қисми 1 аз 3: Асосҳо

1. 1 Функсияро ба формулаи табдилдиҳии Лаплас иваз кунед. Аз рӯи назария, тағир додани функсияи Лаплас хеле осон аст. Ҳамчун намуна, функсияро баррасӣ кунед ${ Displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, дар куҷо ${ Displaystyle a}$ доимии мураккаб бо ${ displaystyle оператор номи {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Бо истифода аз усулҳои мавҷуда интегралро арзёбӣ кунед. Дар мисоли мо, ҳисобкунӣ хеле содда аст ва шумо метавонед онро бо ҳисобҳои оддӣ ба даст оред. Дар ҳолатҳои мураккабтар, методҳои мураккабтар лозиманд, масалан, ҳамгироӣ аз рӯи қисмҳо ё тафриқа дар зери аломати интегралӣ. Ҳолати маҳдудият ${ displaystyle номи корбар {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ маънои онро дорад, ки интеграл ба ҳам наздик мешавад, яъне арзиши он ба 0 баробар мешавад ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { оғоз {ҳамоҳанг} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {ҳамоҳанг}}}$
   • Дар хотир доред, ки ин ба мо ду намуди табдилдиҳии Лапласро медиҳад, ки бо синус ва косинус, зеро мувофиқи формулаи Эйлер ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Дар ин ҳолат, дар маҳфил мо ба даст меорем ${ Displaystyle s-ia,}$ ва танҳо барои муайян кардани қисмҳои воқеӣ ва хаёлӣ боқӣ мемонад. Шумо инчунин метавонед натиҷаро мустақиман арзёбӣ кунед, аммо ин каме дертар мегирад.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos дар } = номи оператор {Re} чап ({ frac {1} {s-ia}} рост) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin дар } = номи оператор {Im} чап ({ frac {1} {s-ia}} рост) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Трансформатсияи функсияи барқро дар Лаплас баррасӣ кунед. Аввалан, шумо бояд тағироти функсияи барқро муайян кунед, зеро хусусияти хаттӣ ба шумо имкон медиҳад, ки табдилро барои аз ҳама бисёрзанагӣ. Функсияи шакл ${ displaystyle t ^ {n},}$ дар куҷо ${ Displaystyle n}$ - ҳама гуна ададҳои мусбӣ. Барои муайян кардани қоидаи рекурсивӣ метавонад қисм ба порча муттаҳид карда шавад.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Ин натиҷа ба таври возеҳ ифода карда мешавад, аммо агар шумо якчанд арзишро иваз кунед ${ Displaystyle n,}$ шумо метавонед як намунаи муайян созед (кӯшиш кунед, ки онро худатон кунед), ки ба шумо имкон медиҳад натиҷаи зеринро ба даст оред:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Шумо инчунин метавонед бо истифода аз функсияи гамма табдили қудрати касрии Лапласро муайян кунед. Масалан, бо ин роҳ шумо метавонед табдили функсияро ба мисли ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Гамма (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Гамма (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Гарчанде ки функсияҳои дорои ваколатҳои касрӣ бояд буриш дошта бошанд (дар хотир доред, ки ҳама рақамҳои мураккаб ${ Displaystyle z}$ ва ${ Displaystyle alpha}$ ҳамчун навиштан мумкин аст ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, зеро ${ displaystyle e ^ { alpha номи оператор {Log} z}}$), онҳо ҳамеша метавонанд тавре тарҳрезӣ карда шаванд, ки буришҳо дар нимаи ҳавопаймои чап ҷойгир шаванд ва аз ин рӯ аз мушкилот бо таҳлил канорагирӣ кунанд.

Қисми 2 аз 3: Хусусиятҳои тағирёбии Лаплас

1. 1 Биёед табдили функсияи зарбшудаи Лапласро пайдо кунем дат{ displaystyle e ^ {at}}. Натиҷаҳое, ки дар боби қаблӣ ба даст омадаанд, ба мо имкон доданд, ки баъзе хусусиятҳои ҷолиби тағирёбии Лапласро пайдо кунем. Трансформатсияи функсияҳо ба монанди косинус, синус ва экспоненсиалӣ назар ба трансформатсияи функсияи барқ ​​соддатар ба назар мерасад. Зарб аз рӯи ${ displaystyle e ^ {at}}$ дар т-минтака мувофикат мекунад гузариш дар минтақаи s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Ин амвол фавран ба шумо имкон медиҳад, ки табдилоти функсияҳоро ба мисли ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, бидуни ҳисоб кардани интеграл:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Биёед табдили Лапласро, ки зарб зада шудааст, пайдо кунем тН.{ Displaystyle t ^ {n}}. Аввал, зарбро бо ${ Displaystyle t}$... Мувофиқи таъриф, кас метавонад функсияро дар доираи интеграл фарқ кунад ва натиҷаи ҳайратангези содда ба даст орад:
   • ${ displaystyle { оғоз {ҳамоҳанг} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Ин амалро такрор карда, мо натиҷаи ниҳоиро ба даст меорем:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Гарчанде ки азнавташкилдиҳии операторҳои интегратсия ва дифференсиал баъзе далелҳои иловагиро талаб мекунад, мо онро дар ин ҷо пешниҳод намекунем, аммо танҳо қайд мекунем, ки ин амал дуруст аст, агар натиҷаи ниҳоӣ маъно дошта бошад. Шумо инчунин метавонед далелро ба назар гиред, ки тағирёбандаҳо ${ Displaystyle s}$ ва ${ Displaystyle t}$ аз якдигар вобастагӣ надоранд.
   • Бо истифода аз ин қоида, тағир додани функсияҳоро ёфтан осон аст ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, бе ҳамгироӣ аз рӯи қисмҳо:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Табдил додани функсияи Лапласро ёбед е(ат){ Displaystyle f (дар)}. Инро метавон бо иваз кардани тағирёбанда бо u бо истифода аз таърифи трансформатсия ба осонӣ анҷом дод:
   • ${ displaystyle { оғоз {ҳамоҳанг} { mathcal {L}} {f (дар) } & = int _ {0} ^ { infty} f (дар) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F чап ({ frac {s} {a}} рост) хотима {ҳамоҳанг}}}$
   • Дар боло, мо табдилоти функсияҳои Лапласро ёфтем ${ displaystyle sin дар}$ ва ${ Displaystyle cos дар}$ бевосита аз функсияи экспоненсиалӣ. Бо истифода аз ин амвол, шумо метавонед ҳамон натиҷаро ба даст оред, агар шумо қисмҳои воқеӣ ва хаёлиро пайдо кунед ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Табдили Лаплас аз ҳосиларо дарёфт кунед е′(т){ Displaystyle f ^ { prime} (t)}. Баръакси мисолҳои қаблӣ, дар ин маврид бояд қисм ба қисм муттаҳид кунед:
   • ${ displaystyle { оғоз {ҳамоҳанг} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • Азбаски ҳосилаҳои дуввум дар бисёр мушкилоти ҷисмонӣ рух медиҳанд, мо инчунин тағироти Лапласро пайдо мекунем:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Дар ҳолати умумӣ, табдилоти Лаплас аз ҳосилаҳои тартиботи n -ум ба таври зерин муайян карда мешавад (ин имкон медиҳад, ки муодилаҳои дифференсиалӣ бо истифода аз трансформатсияи Лаплас ҳал карда шаванд):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Қисми 3 аз 3: Ҷустуҷӯи тағирёбии Лаплас бо тавсеаи силсила

1. 1 Биёед барои функсияи даврӣ табдилоти Лапласро ёбем. Функсияи даврӣ шартро қонеъ мекунад ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ дар куҷо ${ Displaystyle T}$ давраи функсия аст ва ${ Displaystyle n}$ адади мусбат аст. Функсияҳои даврӣ дар бисёр замимаҳо, аз ҷумла коркарди сигнал ва электротехника васеъ истифода мешаванд. Бо истифода аз тағиротҳои оддӣ, мо натиҷаи зеринро ба даст меорем:
   • ${ displaystyle { оғоз {ҳамоҳанг} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { ҳамоҳанг}}}$
   • Тавре ки шумо мебинед, дар ҳолати функсияи даврӣ, иҷрои трансформатсияи Лаплас барои як давра кифоя аст.
2. 2 Трансформатсияи Лапласро барои логарифми табиӣ иҷро кунед. Дар ин ҳолат интегралро наметавон дар шакли функсияҳои элементарӣ ифода кард. Истифодаи функсияи гамма ва васеъшавии силсилавии он ба шумо имкон медиҳад, ки логарифми табиӣ ва дараҷаҳои онро баҳо диҳед. Мавҷудияти доимии Эйлер-Маскерони ${ Displaystyle gamma}$ нишон медиҳад, ки барои арзёбии ин интеграл, васеъкунии серияро истифода бурдан лозим аст.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Трансформатсияи Лапласро аз функсияи ғайримуқаррарии смин баррасӣ кунед. Функсия ${ displaystyle оператор номи {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ барои коркарди сигнал васеъ истифода мешавад, дар муодилаҳои дифференсиалӣ ба функсияи сферавии Бессели навъи якум ва тартиби сифрӣ баробар аст ${ Displaystyle j_ {0} (x).}$ Табдили Лаплас ин функсияро низ бо усулҳои стандартӣ ҳисоб кардан мумкин нест. Дар ин ҳолат, табдилдиҳии аъзои алоҳидаи силсила, ки функсияҳои қудрат мебошанд, амалӣ карда мешавад, аз ин рӯ табдилоти онҳо ҳатман дар фосилаи додашуда ҷамъ меоянд.
   • Аввалан, мо тавсеаи функсияро дар силсилаи Тейлор менависем:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Ҳоло мо трансформатсияи аллакай маълумшудаи Лапласро истифода мебарем. Факториалҳо бекор карда мешаванд ва дар натиҷа мо густариши Тейлорро барои арктенгент ба даст меорем, яъне силсилаи алтернативӣ, ки ба силсилаи Тейлор барои синус шабоҳат дорад, аммо бе факториал:
     • ${ displaystyle { сар {aligned} { mathcal {L}} чап {{ frac { sin t} {t}} рост } & = сум _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$