Мундариҷа

• Ба қадам

Муодилаи тригонометрӣ ин муодилаест, ки дорои як ё якчанд функсияи тригонометрии каҷаки тағирёбандаи х мебошад. Ҳал кардан барои x маънои пайдо кардани қиматҳои каҷҳои тригонометриро дорад, ки функсияҳои тригонометрии он ҳақиқии муодилаи тригонометриро мегардонанд.

• Ҷавобҳо ё қиматҳои каҷҳои ҳал бо дараҷаҳо ё радианҳо ифода карда мешаванд. Намунаҳо:

х = Pi / 3; х = 5Pi / 6; х = 3Pi / 2; х = 45 дараҷа; х = 37,12 дараҷа; х = 178,37 дараҷа

• Эзоҳ: Дар доираи воҳид функсияҳои тригонометрии ягон каҷ ба функсияҳои тригонометрии кунҷи мувофиқ баробаранд. Доираи воҳид ҳама функсияҳои тригонометрии каҷи тағирёбандаи х-ро муайян мекунад. Он инчунин ҳамчун далел дар ҳалли муодилаҳои нобаробарии тригонометрӣ истифода мешавад.
• Намунаҳои муодилаи тригонометрӣ:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + cot x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Доираи воҳид.
   • Ин доира бо Radius = 1 аст, ки дар он O сарчашма аст. Доираи воҳид 4 функсияи асосии тригонометрии каҷаки тағирёбандаро x муайян мекунад, ки он дар муқобили ақрабаки соат давр мезанад.
   • Вақте ки каҷ бо арзиши х дар доираи воҳидҳо тағир меёбад, пас чунин мешавад:
   • Тири меҳвари уфуқии OAx функсияи тригонометрии f (x) = cos x-ро муайян мекунад.
   • Тири меҳвари амудии OBy функсияи тригонометрии f (x) = sin x -ро муайян мекунад.
   • Тири меҳвари AT функсияи тригонометрии f (x) = tan x-ро муайян мекунад.
   • Тири меҳвари уфуқӣ функсияи тригонометрии f (x) = cot x-ро муайян мекунад.

• Доираи воҳид инчунин барои ҳалли муодилаҳои асосии тригонометрӣ ва нобаробарии стандартии тригонометрикӣ бо назардошти мавқеъҳои гуногуни каҷи х дар давра истифода мешавад.

Ба қадам

1. Фаҳмидани усули ҳалли масъала.
   • Барои ҳалли муодилаи тригонометрӣ шумо онро ба як ё якчанд муодилаи асосии тригонометрӣ табдил медиҳед. Ҳалли муодилаи тригонометрӣ дар ниҳоят ба ҳалли 4 муодилаи асосии тригонометрӣ оварда мерасонад.
2. Тарзи ҳалли муодилаҳои асосии тригонометриро бидонед.
   • 4 муодилаи асосии тригонометрӣ мавҷуданд:
   • гуноҳи х = а; cos x = a
   • tan x = a; кати x = a
   • Шумо метавонед муодилаҳои асосии тригонометриро бо роҳи омӯхтани мавқеъҳои гуногуни каҷи х дар доираи тригонометрӣ ва истифодаи ҷадвали табдили тригонометрӣ (ё ҳисобкунак) ҳал кунед. Барои пурра фаҳмидани тарзи ҳалли ин ва ба ин монанд муодилаҳои асосии тригонометрӣ, китоби зеринро хонед: "Тригонометрия: Ҳалли муодилаҳои тригонометрӣ ва нобаробарӣ" (Amazon E-book 2010).
   • Мисоли 1. Ҳалли sin x = 0.866. Ҷадвали табдили (ё калкулятор) посух медиҳад: x = Pi / 3. Доираи тригонометрӣ боз як каҷи дигарро (2Pi / 3) медиҳад, ки бо синус (0.866) баробар аст. Доираи тригонометрӣ инчунин беохирии ҷавобҳоро, ки ҷавобҳои васеъ номида мешаванд, таъмин менамояд.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi ва x2 = 2Pi / 3. (Ҷавобҳо дар мӯҳлати (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi ва x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Ҷавобҳои муфассал).
   • Мисоли 2. Ҳал кунед: cos x = -1/2. Калкуляторҳо x = 2 Pi / 3 медиҳанд. Доираи тригонометрӣ инчунин x = -2Pi / 3 медиҳад.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi ва x2 = - 2Pi / 3. (Ҷавобҳо барои давраи (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi ва x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Ҷавобҳои васеъ)
   • Мисоли 3. Ҳал кунед: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • х = Pi / 4; (Ҷавоб)
   • х = Pi / 4 + k Pi; (Ҷавоби васеъ)
   • Мисоли 4. Ҳал кунед: кати 2х = 1.732. Калкуляторҳо ва доираи тригонометрӣ медиҳад:
   • х = Pi / 12; (Ҷавоб)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Ҷавобҳои васеъ)
3. Табдилоти дар ҳалли муодилаҳои тригонометрӣ истифодашавандаро омӯзед.
   • Барои табдил додани муодилаи тригонометрии додашуда ба муодилаҳои стандартии тригонометрӣ, табдилдиҳии стандартии алгебравӣ (факторсия, омили умумӣ, бисёрҷонибаҳо ...), таърифҳо ва хосиятҳои функсияҳои тригонометрӣ ва ҳувиятҳои тригонометрӣ истифода баред. Тақрибан 31, 14-тои он шахсияти тригонометрӣ мебошанд, аз 19 то 31, инчунин ҳувиятҳои трансформатсия номида мешаванд, зеро онҳо дар табдили муодилаи тригонометрӣ истифода мешаванд. Ба китоби боло нигаред.
   • Мисоли 5: Муодилаи тригонометрӣ: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 метавонад бо истифодаи мушаххасоти тригонометрӣ ба маҳсули муодилаҳои асосии тригонометрӣ табдил дода шавад: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Муодилаҳои асосии тригонометрии ҳалшаванда инҳоянд: cos x = 0; гуноҳ (3x / 2) = 0; ва cos (x / 2) = 0.
4. Хатҳоеро ёбед, ки барои онҳо функсияҳои тригонометрӣ маълуманд.
   • Пеш аз омӯхтани тарзи ҳалли муодилаҳои тригонометрӣ, ба шумо лозим аст, ки чӣ гуна зуд пайдо кардани каҷҳоеро, ки функсияҳои тригонометрӣ барои онҳо маълуманд, донед. Арзиши тағирёбии каҷҳо (ё кунҷҳо) -ро бо ҷадвалҳои тригонометрӣ ё ҳисобкунак муайян кардан мумкин аст.
   • Мисол: барои cos x = 0.732 ҳал кунед. Калкулятор ҳалли x = 42.95 дараҷаро медиҳад. Доираи воҳидҳо каинаҳои дигарро бо арзиши якхела барои косинус медиҳанд.
5. Қавси ҷавобро дар доираи воҳид кашед.
   • Шумо метавонед графикро барои тасвири ҳалли ҳалқаи воҳид созед. Нуқтаҳои охири ин каҷҳо бисёркунҷаҳо дар доираи тригонометрӣ мебошанд. Баъзе мисолҳо:
   • Нуқтаҳои охири каҷи x = Pi / 3 + k.Pi / 2 як квадратест дар доираи воҳид.
   • Хатҳои x = Pi / 4 + k.Pi / 3 бо координатҳои шашкунҷа дар доираи воҳид нишон дода мешаванд.
6. Тарзи ҳалли муодилаҳои тригонометриро омӯзед.
   • Агар муодилаи тригонометрии додашуда танҳо як функсияи тригонометриро дар бар гирад, онро ҳамчун муодилаи стандартии тригонометрӣ ҳал кунед. Агар муодилаи додашуда ду ва ё зиёда функсияҳои тригонометрӣ дошта бошад, вобаста ба вариантҳои табдилдиҳии муодила 2 усули ҳалли он мавҷуданд.
     • A. Усули 1.
   • Муодилаи тригонометриро ба ҳосили шакл табдил диҳед: f (x) .g (x) = 0 or f (x) .g (x) .h (x) = 0, ки f (x), g (x) ва h (x) муодилаҳои асосии тригонометрӣ мебошанд.
   • Мисоли 6. Ҳал кунед: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Ҳал. Sin 2x -ро дар муодила бо истифодаи шахсияти худ иваз кунед: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Пас 2 функсияи стандартии тригонометриро ҳал кунед: cos x = 0, ва (sin x + 1) = 0.
   • Мисоли 7. Ҳал кунед: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Ҳал: Бо истифодаи мушаххасиятҳои тригонометрӣ инро ба маҳсулот табдил диҳед: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Ҳоло 2 муодилаи асосии тригонометриро ҳал кунед: cos 2x = 0 ва (2cos x + 1) = 0.
   • Мисоли 8. Ҳал кунед: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Ҳал: Бо истифода аз мушаххасоти тригонометрӣ инро ба маҳсулот табдил диҳед: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Ҳоло 2 муодилаи асосии тригонометрикиро ҳал кунед: cos 2x = 0 ва (2sin x + 1) = 0.
     • B. Муносибати 2.
   • Муодилаи тригро ба муодилаи триг табдил медиҳад, ки танҳо як функсияи беназири триг ҳамчун тағирёбанда дорад. Баъзе маслиҳатҳо оид ба интихоби тағирёбандаи мувофиқ мавҷуданд. Тағирёбандаҳои умумӣ инҳоянд: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t ва tan (x / 2) = t.
   • Мисоли 9. Ҳал кунед: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Ҳал. Дар муодила, (cos ^ 2x) -ро бо (1 - sin ^ 2x) иваз кунед ва муодиларо содда кунед:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Акнун sin x = t -ро истифода баред. Муодила чунин мешавад: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ин муодилаи квадратии дорои 2 реша аст: t1 = -1 ва t2 = 9/5. Мо t2 дуюмро рад карда метавонем, зеро> 1. Ҳоло ҳал кунед: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Мисоли 10. Ҳал кунед: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Ҳал. Tan x = t -ро истифода баред. Муодилаи додашударо ба муодилаи дорои t ҳамчун тағирёбанда табдил диҳед: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Аз ин маҳсулот барои t ҳал карда, пас муодилаи стандартии тригонометрии tan x = t -ро барои x ҳал намоед.
7. Муодилаҳои махсуси тригонометриро ҳал кунед.
   • Якчанд муодилаи махсуси тригонометрӣ мавҷуданд, ки табдили мушаххасро талаб мекунанд. Намунаҳо:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Хусусиятҳои даврии функсияҳои тригонометриро омӯзед.
   • Ҳамаи функсияҳои тригонометрӣ даврӣ мебошанд, яъне маънои пас аз гардиш дар давра ба ҳамон қимат баргаштанро дорад. Намунаҳо:
     • Функсияи f (x) = sin x 2Pi ҳамчун давра дорад.
     • Функсияи f (x) = tan x Pi ҳамчун нуқта Pi дорад.
     • Функсияи f (x) = sin 2x Pi ҳамчун нуқта дорад.
     • Функсияи f (x) = cos (x / 2) 4Pi -ро ҳамчун давра дорад.
   • Агар мӯҳлат дар машқҳо / тест муайян карда шуда бошад, пас ба шумо лозим аст, ки дар ин муддат каҷ (ҳо) и х-ро пайдо кунед.
   • ЭЗОҲ: Ҳалли муодилаҳои тригонометрӣ душвор аст ва аксар вақт ба хатогиҳо ва хатогиҳо оварда мерасонад. Аз ин рӯ, ҷавобҳо бояд бодиққат тафтиш карда шаванд. Пас аз ҳалли он, шумо метавонед ҷавобҳоро бо истифода аз калкулятор графикӣ тафтиш кунед, барои мустақиман нишон додани муодилаи тригонометрии R (x) = 0. Ҷавобҳо (ҳамчун решаи квадратӣ) дар ҷойҳои даҳӣ дода мешаванд. Ҳамчун мисол, Pi арзиши 3.14 дорад