Мундариҷа

• Қадамҳо
• Қисми 1 аз 4: Чӣ тавр як муодила нависед
• Қисми 2 аз 4: Алгоритми Евклидро чӣ тавр нависед
• Қисми 3 аз 4: Чӣ тавр ҳалли худро бо истифода аз алгоритми Евклид ёфтан мумкин аст
• Қисми 4 аз 4: Дигар ҳалли беохирро ёбед

Барои ҳалли муодилаи хаттии Диофантин, шумо бояд қиматҳои тағирёбандаҳои "x" ва "y" -ро, ки ададҳо мебошанд, пайдо кунед. Ҳалли бутун аз маъмулӣ мураккабтар аст ва маҷмӯи муайяни амалҳоро талаб мекунад. Аввалан, шумо бояд бузургтарин тақсимкунандаи умумии коэффисиентҳоро ҳисоб кунед ва пас роҳи ҳалли онро пайдо кунед. Пас аз он ки шумо як ҳалли бутунро барои муодилаи хатӣ пайдо кардед, шумо метавонед як намунаи оддиро барои ёфтани шумораи беохири дигар қарорҳо истифода баред.

Қадамҳо

Қисми 1 аз 4: Чӣ тавр як муодила нависед

1. 1 Муодиларо дар шакли стандартӣ нависед. Муодилаи хатӣ муодилаест, ки дар он нишондиҳандаҳои тағирёбандаҳо аз 1 зиёд нестанд. Барои ҳалли ин муодилаи хатӣ, аввал онро дар шакли стандартӣ нависед. Шакли стандартии муодилаи хатӣ чунин ба назар мерасад: ${ displaystyle Ax + By = C}$, дар куҷо ${ Displaystyle A, B}$ ва ${ Displaystyle C}$ - рақамҳои пурра.
   • Агар муодила дар шакли дигар дода шуда бошад, онро бо истифодаи амалҳои асосии алгебравӣ ба шакли стандартӣ бароред. Масалан, бо назардошти муодила ${ Displaystyle 23x + 4y -7x = -3y + 15}$... Истилоҳҳои шабеҳро диҳед ва муодиларо чунин нависед: ${ Displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Муодиларо содда кунед (агар имконпазир бошад). Вақте ки шумо муодиларо дар шакли стандартӣ менависед, ба коэффисиентҳо нигоҳ кунед ${ Displaystyle A, B}$ ва ${ Displaystyle C}$... Агар ин коэффитсиентҳо GCD дошта бошанд, ҳар се коэффисиентро ба он тақсим кунед. Ҳалли чунин муодилаи содда инчунин ҳалли муодилаи аслӣ хоҳад буд.
   • Масалан, агар ҳамаи се коэффисиентҳо ҷуфт бошанд, онҳоро ҳадди ақал ба 2 тақсим кунед. Масалан:
     • ${ Displaystyle 42x + 36y = 48}$ (ҳамаи аъзоён ба 2 тақсим мешаванд)
     • ${ Displaystyle 21x + 18y = 24}$ (ҳоло ҳамаи аъзоён ба 3 тақсим мешаванд)
     • ${ Displaystyle 7x + 6y = 8}$ (ин муодила дигар наметавонад содда карда шавад)
3. 3 Санҷед, ки оё муодиларо ҳал кардан мумкин аст. Дар баъзе ҳолатҳо, шумо метавонед фавран изҳор кунед, ки муодила ҳалли худро надорад. Агар коэффисиенти "С" ба GCD -и коэффисиентҳои "А" ва "В" тақсим карда нашавад, муодила ҳалли худро надорад.
   • Масалан, агар ҳарду коэффисиентҳо ${ Displaystyle A}$ ва ${ Displaystyle B}$ баробаранд, пас коэффициент ${ Displaystyle C}$ бояд ҷуфт бошад. Аммо агар ${ Displaystyle C}$ аҷиб аст, пас роҳи ҳал нест.
     • Муодила ${ Displaystyle 2x + 4y = 21}$ ҳалли бутун нест.
     • Муодила ${ Displaystyle 5x + 10y = 17}$ ҳалли ҳамаҷониба вуҷуд надорад, зеро тарафи чапи муодила ба 5 тақсим мешавад ва тарафи рост нест.

Қисми 2 аз 4: Алгоритми Евклидро чӣ тавр нависед

1. 1 Алгоритми Евклидро фаҳмед. Ин як қатор тақсимоти такрорӣ мебошад, ки дар он бақияи пешина ҳамчун тақсимкунандаи навбатӣ истифода мешавад. Тақсимкунандаи охирин, ки рақамҳоро ба таври интегралӣ тақсим мекунад, бузургтарин тақсимкунандаи умумӣ (GCD) -и ин ду рақам мебошад.
   • Масалан, биёед бо истифода аз алгоритми Евклид GCD рақамҳои 272 ва 36 -ро пайдо кунем:
     • ${ Displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - Шумораи калонтарро (272) ба рақами хурдтар (36) тақсим кунед ва ба бақия (20) диққат диҳед;
     • ${ Displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - тақсимкунандаи пешина (36) -ро ба боқимондаи қаблӣ (20) тақсим кунед. Ба пасмондаи нав диққат диҳед (16);
     • ${ Displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - тақсимкунандаи пешина (20) -ро ба боқимондаи қаблӣ (16) тақсим кунед. Ба пасмондаи нав диққат диҳед (4);
     • ${ Displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - Тақсимкунандаи қаблиро (16) ба боқимондаи қаблӣ (4) тақсим кунед. Азбаски бақия 0 аст, мо гуфта метавонем, ки 4 GCD аз ду рақами аслии 272 ва 36 мебошад.
2. 2 Алгоритми Евклидро ба коэффисиентҳои "А" ва "В" татбиқ кунед. Вақте ки шумо муодилаи хатиро дар шакли стандартӣ менависед, коэффисиентҳои "А" ва "В" -ро муайян кунед ва баъд алгоритми Евклидро барои ёфтани GCD ба онҳо татбиқ кунед. Масалан, як муодилаи хатӣ дода мешавад ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Ин аст алгоритми Евклид барои коэффисиентҳои А = 87 ва В = 64:
     • ${ Displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ Displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ Displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ Displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ Displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ Displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ Displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Бузургтарин омили умумиро (GCD) ёбед. Азбаски тақсимкунандаи охирин 1 буд, GCD 87 ва 64 1 мебошанд. Ҳамин тариқ, 87 ва 64 рақамҳои оддӣ нисбат ба якдигар мебошанд.
4. 4 Натиҷаро таҳлил кунед. Вақте ки шумо коэффисиентҳои gcd -ро пайдо мекунед ${ Displaystyle A}$ ва ${ Displaystyle B}$, онро бо коэффисиент муқоиса кунед ${ Displaystyle C}$ муодилаи аслӣ. Агар ${ Displaystyle C}$ ба gcd тақсим карда мешавад ${ Displaystyle A}$ ва ${ Displaystyle B}$, муодила ҳалли бутун дорад; вагарна муодила ҳалли худро надорад.
   • Масалан, муодила ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$ ҳал кардан мумкин аст, зеро 3 ба 1 тақсим мешавад (gcd = 1).
   • Масалан, фарз мекунем, ки GCD = 5. 3 ба 5 баробар тақсим намешавад, бинобар ин ин муодила ҳалли бутун надорад.
   • Тавре ки дар зер нишон дода шудааст, агар муодила як ҳалли бутун дошта бошад, он инчунин шумораи беохир дигар қарорҳои бутун дорад.

Қисми 3 аз 4: Чӣ тавр ҳалли худро бо истифода аз алгоритми Евклид ёфтан мумкин аст

1. 1 Қадамҳоро барои ҳисоб кардани GCD рақам кунед. Барои ёфтани ҳалли муодилаи хатӣ, шумо бояд алгоритми Евклидиро ҳамчун асоси раванди ивазкунӣ ва соддакунӣ истифода баред.
   • Бо рақамгузорӣ кардани қадамҳо барои ҳисоб кардани GCD оғоз кунед. Раванди ҳисобкунӣ чунин ба назар мерасад:
     • ${ displaystyle { матн {Қадами 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { матн {Қадами 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { матн {Қадами 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { матн {Қадами 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {Қадами 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { матн {Қадами 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {Қадами 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Ба қадами охирин диққат диҳед, ки дар он боқимонда мавҷуд аст. Барои ҷудо кардани боқимонда муодилаи ин қадамро аз нав нависед.
   • Дар мисоли мо, қадами охирин боқимонда қадами 6 мебошад. Қисми боқимонда 1. Ин аст, ки муодиларо дар қадами 6 ба таври зерин нависед:
     • ${ Displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Қисми боқимондаи қадами қаблиро ҷудо кунед. Ин раванд зина ба зина "боло рафтан" аст. Ҳар дафъае, ки шумо боқимондаро дар муодила дар қадами қаблӣ ҷудо мекунед.
   • Қисми боқимондаро дар Қадами 5 ҷудо кунед:
     • ${ Displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ ё ${ Displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 Иваз кардан ва содда кардан. Аҳамият диҳед, ки муодилаи қадами 6 рақами 2 -ро дар бар мегирад ва дар муодилаи қадами 5, рақами 2 ҷудо карда шудааст. Ҳамин тавр, ба ҷои "2" дар муодилаи қадами 6, ифодаи қадами 5 -ро иваз кунед:
   • ${ Displaystyle 1 = 3-2}$ (муодилаи қадами 6)
   • ${ Displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (ба ҷои 2, ибора иваз карда шуд)
   • ${ Displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (қавсҳои кушода)
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (соддакардашуда)
5. 5 Раванди ивазкунӣ ва соддакуниро такрор кунед. Раванди тавсифшударо бо тартиби баръакс тавассути алгоритми Евклидӣ такрор кунед. Ҳар дафъае, ки шумо муодиларо аз қадами қаблӣ дубора менависед ва ба муодилаи охирини гирифтаи худ пайваст мекунед.
   • Қадами охирине, ки мо дида баромадем, қадами 5 буд. Пас ба қадами 4 гузаред ва боқимондаро дар муодилаи ин қадам ҷудо кунед:
     • ${ Displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Ин ибораро дар "3" дар муодилаи охирин иваз кунед:
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Раванди ивазкунӣ ва соддакуниро идома диҳед. Ин раванд то он даме ки шумо ба марҳилаи ибтидоии алгоритми Евклидӣ расидед, такрор карда мешавад. Ҳадафи раванд навиштани муодила бо коэффисиентҳои 87 ва 64 -и муодилаи аслии ҳалшаванда мебошад. Дар мисоли мо:
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (ифодаро аз қадами 3 иваз кард)
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (ифодаро аз қадами 2 иваз кард)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (ифодаро аз қадами 1 иваз кард)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Муодилаи натиҷаро мувофиқи коэффисиентҳои аслӣ дубора нависед. Вақте ки шумо ба қадами аввали алгоритми Евклид бармегардед, шумо хоҳед дид, ки муодилаи ҳосилшуда ду коэффисиенти муодилаи аслиро дар бар мегирад. Муодиларо аз нав нависед, то тартиби шартҳои он ба коэффисиентҳои муодилаи аввал мувофиқат кунад.
   • Дар мисоли мо, муодилаи аслӣ ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$... Аз ин рӯ, муодилаи ҳосилшударо аз нав нависед, то коэффисиентҳо ба ҳам оварда шаванд.Ба коэффисиенти "64" диққати махсус диҳед. Дар муодилаи аввал ин коэффитсиент манфӣ аст ва дар алгоритми Евклидӣ он мусбат аст. Аз ин рӯ, омили 34 бояд манфӣ карда шавад. Муодилаи ниҳоӣ чунин навишта мешавад:
     • ${ Displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Барои пайдо кардани ҳалли мултипликатори мувофиқро татбиқ кунед. Аҳамият диҳед, ки дар мисоли мо, GCD = 1, бинобарин муодилаи ниҳоӣ 1 аст. Аммо муодилаи аслӣ (87x-64y) 3 аст. Аз ин рӯ, барои ба даст овардани ҳалли ҳама истилоҳҳои муодилаи ниҳоӣ бояд ба 3 зарб карда шаванд:
   • ${ Displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ Displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Ҳалли пурраи муодиларо нависед. Рақамҳое, ки ба коэффисиентҳои муодилаи аввал зарб карда мешаванд, ҳалли ин муодила мебошанд.
   • Дар мисоли мо, ҳалли худро ҳамчун як ҷуфт координат нависед: ${ Displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.

Қисми 4 аз 4: Дигар ҳалли беохирро ёбед

1. 1 Бифаҳмед, ки шумораи беохири ҳалли мушкилот вуҷуд дорад. Агар муодилаи хатӣ як ҳалли бутун дошта бошад, пас он бояд ҳалли бепоёни бисёр ададӣ дошта бошад. Ин як далели зуд (дар шакли алгебравӣ):
   • ${ displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ Displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (агар шумо "B" -ро ба "x" илова кунед ва "A" -ро аз "y" хориҷ кунед, арзиши муодилаи аслӣ тағир намеёбад)
2. 2 Арзиши аслии x ва y -ро сабт кунед. Шаблон барои ҳисоб кардани қарорҳои навбатӣ (беохир) аз ягона ҳалли аллакай пайдокардаи шумо оғоз меёбад.
   • Дар мисоли мо, ҳалли он як ҷуфт координатҳост ${ Displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.
3. 3 Ба арзиши "x" омили "B" -ро илова кунед. Инро барои пайдо кардани арзиши нави x иҷро кунед.
   • Дар мисоли мо, x = -75 ва B = -64:
     • ${ Displaystyle x = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • Ҳамин тариқ, арзиши нави "x": x = -139.
4. 4 Омили "А" -ро аз арзиши "y" хориҷ кунед. Барои он ки арзиши муодилаи аслӣ тағир наёбад, ҳангоми илова кардани як рақам ба "x", шумо бояд рақами дигарро аз "y" хориҷ кунед.
   • Дар мисоли мо, y = -102 ва A = 87:
     • ${ Displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • Ҳамин тариқ, арзиши нав барои "y": y = -189.
   • Ҷуфти нави координатҳо чунин навишта мешаванд: ${ Displaystyle (x, y) = ( - 139, -189)}$.
5. 5 Ҳалли худро тафтиш кунед. Барои санҷидани он, ки ҷуфти нави координатҳо ҳалли муодилаи аслӣ аст, арзишҳоро ба муодила пайваст кунед.
   • ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ Displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ Displaystyle 3 = 3}$
   • Азбаски баробарӣ риоя мешавад, қарор дуруст аст.
6. 6 Ифодаҳоро нависед, то ҳалли бисёре пайдо кунед. Арзишҳои "x" ба ҳалли аслӣ ва ба ҳама зарбҳои омили "B" баробар мешаванд. Инро метавон ҳамчун ифодаи зерин навишт:
   • x (k) = x + k (B), ки дар он "x (k)" маҷмӯи арзишҳои "x" аст ва "x" арзиши аслии "x" -и шумо ёфтед.
     • Дар мисоли мо:
     • ${ Displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), ки y (k) маҷмӯи арзишҳои y ва y арзиши аслии (аввал) y аст, ки шумо ёфтед.
     • Дар мисоли мо:
     • ${ Displaystyle y (k) = - 102-87k}$