Мундариҷа

• Ба қадам
• Қисми 1 аз 3: Асосҳои таҳлил
• Қисми 2 аз 3: Ҳосилҳоро фаҳмед
• Қисми 3 аз 3: Дарк кардани интегралҳо
• Маслиҳатҳо

Таҳлил (инчунин ҳисоб) ин як бахши математика мебошад, ки ба ҳудудҳо, функсияҳо, ҳосилҳо, интегралҳо ва қатори беохир равона шудааст. Ин мавзӯъ математикаи зиёдеро дар бар мегирад ва дар асоси бисёр формулаҳо ва муодилаҳои дар физика ва механика истифодашаванда истифода мешавад. Барои дуруст фаҳмидани таҳлил ба шумо эҳтимолан дар мактаби миёна бояд якчанд сол математика дошта бошед, аммо ин мақола шуморо ба омӯзиши шинохти мафҳумҳои асосӣ ва инчунин дарки беҳтарини назария оғоз мекунад.

Ба қадам

Қисми 1 аз 3: Асосҳои таҳлил

1. Таҳлил ин омӯзиши он аст, ки чӣ гуна тағир меёбад. Таҳлил як бахши математика мебошад, ки рақамҳо ва графикҳоро тафтиш мекунад, ки одатан аз маълумоти воқеӣ гирифта шудаанд ва чӣ гуна тағир ёфтани онҳоро мефаҳмонанд. Гарчанде ки ин дар аввал чандон муфид наменамояд, таҳлил яке аз бахшҳои маъмултарин истифодашавандаи математика мебошад. Тасаввур кунед, ки асбобҳо дошта бошанд, то бигӯянд, ки тиҷорати шумо дар ҳар лаҳза чӣ қадар зуд меафзояд, ё чӣ гуна ҷараёни киштии фалакпайморо муайян кунед ва сӯзишвории он то чӣ андоза зуд сарф мешавад. Таҳлил воситаи муҳими муҳандисӣ, иқтисодиёт, омор, химия ва физика мебошад ва дар бисёр ихтироот ва кашфиётҳо саҳм гузоштааст.
2. Функсияҳо муносибати байни ду рақам мебошанд ва барои харитасозии муносибатҳо истифода мешаванд. Онҳо қоидаҳои муносибати байни рақамҳо мебошанд ва математикҳо бо истифода аз онҳо графикҳо месозанд. Дар функсия, ҳар як вуруд дақиқ як натиҷа дорад. Масалан: дар ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Дар бораи мафҳуми беохирӣ фикр кунед. Бепоён такрори доимии як раванд мебошад. Ин макони мушаххас нест (шумо наметавонед ба беохирӣ равед), балки рафтори адад ё муодила, агар он то абад анҷом дода шавад. Ин барои омӯхтани тағирот муҳим аст: шумо метавонед донистан мехоҳед, ки мошини шумо дар вақти дилхоҳ чӣ қадар ҳаракат мекунад, аммо оё он аст, ки мошини шумо дар тӯли як сонияи ҳозира чӣ қадар ҳаракат мекунад? Миллисония? Наносекундӣ? Шумо метавонед қисмҳои бениҳоят хурди вақтро барои дақиқтар пайдо кунед, ва он вақт таҳлил ворид мешавад.
3. Мафҳуми ҳудудро фаҳмед. Ҳудуди он мегӯяд, ки вақте чизе ба беохирӣ наздик мешавад, чӣ мешавад. Рақами 1-ро гирифта ба 2 тақсим кунед. Ба такрор ба 2 тақсим кунед. 1 ба 1/2 ва сипас 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ва ғайра табдил меёбад. Ҳар дафъа шумораи онҳо хурдтар ва ба сифр "наздиктар" мешаванд. Аммо он дар куҷо қатъ мешавад? Барои гирифтани сифр бояд чанд маротиба 1-ро ба 2 тақсим кунед? Ба ҷои посух додан ба ин савол, дар таҳлил шумо якеро гузоштед маҳдуд Дар ин ҳолат, ҳадди аст.
   • Маҳдудиятҳоро дар график тасаввур кардан осонтар аст - масалан, оё он нуқтаҳое мавҷуданд, ки граф қариб ба онҳо таъсир мерасонад, аммо ҳеҷ гоҳ тамоман нестанд?
   • Маҳдудиятҳо рақам, бепоён ва ҳатто номавҷуд буда метавонанд. Масалан, бо пайдарпаии илова 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... ва ин номуайян идома меёбад, шумораи ниҳоӣ бениҳоят калон мешавад. Пас аз он маҳдудият бепоён мешавад.
4. Мафҳумҳои асосии математикаи алгебра, тригонометрия ва асосҳои математикаро аз назар гузаронед. Таҳлил ба бисёре аз математикае, ки шумо қаблан омӯхтед, такя мекунад. Донистани ҳама мавзӯъҳо омӯхтан ва фаҳмидани таҳлилро осон мекунад. Баъзе мавзӯъҳо барои тоза кардан инҳоянд:
   • Алгебра. Шумо бояд равандҳои гуногунро фаҳмед ва тавонад муодилаҳо ва системаҳои муодилаҳоро бо тағирёбандаҳои гуногун ҳал карда тавонед. Фаҳмидани асосҳои маҷмӯаҳо. Машқ додани графикҳо.
   • Геометрия. Геометрия омӯзиши шаклҳост. Шумо бояд дониши ибтидоӣ оид ба секунҷаҳо, росткунҷаҳо ва доираҳоро дошта бошед ва чӣ гуна ҳисоб кардани чизҳо ба монанди периметр ва майдонро дошта бошед. Фаҳмиши кунҷҳо, хатҳо ва координатҳо
   • Тригонометрия. Тригонометрия як бахши математика мебошад, ки бо хосиятҳои давраҳо ва секунҷаҳои рост кор мекунад. Бифаҳмед, ки чӣ гуна шахсияти тригонометрӣ, графикҳо, функсияҳо ва функсияҳои тригонометрии баръаксро истифода баред.
5. Ҳисобкунаки графикӣ харед. Бе дидани коре, ки мекунед, таҳлил осон нест. Калкуляторҳои графикӣ функсияҳоро визуалӣ мекунанд, то шумо беҳтар фаҳмед, ки шумо бо кадом муодилаҳо муносибат мекунед. Аксар вақт лимитҳо низ дар экран нишон дода мешаванд ва ҳосилҳо ва функсияҳо ба таври худкор ҳисоб карда мешаванд.
   • Имрӯзҳо бисёр смартфонҳо ва планшетҳо барномаҳои графикии арзон, вале муассирро пешниҳод мекунанд, агар шумо калкулятор графикиро нахоҳед ё нахаред.

Қисми 2 аз 3: Ҳосилҳоро фаҳмед

1. Таҳлил барои омӯзиши "тағирот дар лаҳзаи муайян" истифода мешавад. Донистани он, ки чаро чизе дар лаҳзаи дақиқ тағир меёбад, асоси таҳлил аст. Масалан, таҳлил ба шумо на танҳо суръати мошин, балки инчунин медиҳад, ки ин суръат дар вақти дилхоҳ чӣ қадар тағир меёбад. Ин яке аз соддатарин истифодаи таҳлил аст, аммо хеле муҳим. Тасаввур кунед, ки ин гуна маълумот барои муайян кардани суръате, ки ба Моҳ расидани киштии кайҳониро талаб мекунад, то чӣ андоза муҳим аст!
   • Муайян кардани тағирот дар як нуқтаи муайяни вақт дорад фарқ кардан. Тафовут аввалини ду соҳаи асосии таҳлил аст.
2. Истифодаи ҳосилаҳо барои фаҳмидани он ки чӣ гуна чизҳо дар вақти муайян тағир меёбанд. "Ҳосила" калимаи хубест барои чизе, ки аксар вақт донишҷӯёнро асабӣ мекунад. Аммо, худи мафҳум фаҳмидани он қадар душвор нест - ин танҳо маънои "чӣ қадар зуд тағир ёфтани чизе" -ро дорад. Ҳосилҳое, ки шумо дар ҳаёти ҳаррӯза бештар дучор меоед, ба суръат рабт доранд. Аммо, шумо одатан онро "ҳосилаи суръат" не, балки танҳо "шитоб" меномед.
   • Шитоб ҳосилшуда аст - он ба шумо мегӯяд, ки чӣ қадар суръат ё суръатбахшии чизе, ё тағирёбии суръати он.
3. Бидонед, ки суръати тағирот ба нишебии байни ду нуқта баробар аст. Ин яке аз кашфиётҳои муҳимтарини таҳлил аст. Суръати тағирёбии байни ду нуқта ба нишебии хатти байни ин ду нуқта баробар аст. Танҳо дар бораи як хатти оддӣ, масалан, дар бораи муодила фикр кунед ${ displaystyle y = 3x.}$Бидонед, ки шумо метавонед нишебии хатҳои каҷро муайян кунед. Муайян кардани нишеби хати рост нисбатан осон аст: чӣ қадар тағир меёбад ${ displaystyle y}$Агар шумо хоҳед, ки тағиротро дақиқтар ҳисоб кунед, боварӣ ҳосил кунед, ки нуқтаҳо ба ҳам наздиктаранд. Ҳар ду нуқтаро наздиктар интихоб кунед, ҷавоби шумо дақиқтар хоҳад буд. Фарз мекунем, ки шумо мехоҳед бидонед, ки ҳангоми пахш кардани акселератсия мошини шумо чӣ қадар суръат мегирад. Шумо намехоҳед тағирёбии суръати байни хонаи худ ва супермаркетро чен кунед, аммо тағирёбии суръат аз лаҳзаи ба акселератсия бархӯрдан. Чӣ қадаре ки хониши шумо ба он сонияи тақсимшавӣ наздик шавад, ҳамон қадар ҳисоби шумо дар бораи тағирот дақиқтар мешавад.
   • Масалан, олимон таҳқиқ мекунанд, ки то чӣ андоза баъзе намудҳо барои наҷот ёфтан нобуд мешаванд. Аммо, дар зимистон нисбат ба тобистон шумораи зиёди ҳайвонот мемиранд, аз ин рӯ омӯзиши суръати тағирот дар тӯли сол муфид нест - беҳтар аст, ки суръати тағиротро дар муддати кӯтоҳтаре муайян кунед, масалан аз 1 июл то 1 август.
4. Барои муайян кардани "суръати фаврии тағирот" аз хатҳои бепоёни кӯтоҳ истифода кунед ё ҳосиларо ёбед. Ин аст, ки таҳлил аксар вақт каме печида мешавад, аммо ин дар асл натиҷаи ду далели оддӣ аст. Пеш аз ҳама, шумо медонед, ки нишебии хат ба суръати тағирёбии он хат баробар аст. Дуюм, шумо медонед, ки нуқтаҳои сатр ба ҳам наздиктар шаванд, хониш ҳамон қадар дақиқтар мешавад. Аммо суръати тағиротро дар нуқтаи додашуда чӣ гуна бояд ёфт, агар нишебӣ муносибати байни ду нуқта бошад? Ҷавоб: Шумо ду нуқтаро интихоб мекунед, ки ба ҳам бениҳоят наздиканд.
   • Мисолеро дида мебароем, ки дар он шумо 1 ба 2 тақсим мекунед ва ҳамин тавр 1/2, 1/4, 1/8 ва ғ. Ҳамин тавр, дар ниҳоят шумо ба сифр наздик мешавед ва ҷавоб "қариб сифр" аст. Нуқтаҳо ба якдигар чунон наздиканд, ки "тақрибан ба ҳамдигар баробаранд". Ин табиати ҳосилаҳост.
5. Бифаҳмед, ки чӣ гуна ҳосилаҳои гуногунро муайян кардан мумкин аст. Вобаста аз муодила як тонна усулҳои гуногуни ёфтани ҳосиларо вуҷуд доранд, аммо аксарияти онҳо маъно доранд, агар шумо дар боло асосҳои ҳосилҳоро аз ёд карда бошед. Ҳама ҳосилҳо роҳи пайдо кардани нишебии хатти "беохир" мебошанд. Ҳоло, ки шумо дар бораи назарияи ҳосилавӣ маълумоти бештар доред, қисми зиёди корҳо дар ёфтани ҷавобҳо мебошанд.
6. Муодилаҳои ҳосилшударо барои пешгӯии суръати тағирро дар вақти дилхоҳ ёбед. Истифодаи ҳосилаҳо барои муайян кардани суръати тағирот дар вақти дилхоҳ муфид аст, аммо зебоии таҳлил дар он аст, ки шумо метавонед барои ягон функсия модели нав созед. Ҳосилаи ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Агар ба шумо дарки ин душвор бошад, кӯшиш кунед, ки мисолҳои воқеии ҳосилаҳоро ба ёд оред. Намунаи соддатарин ба суръат асос ёфтааст, ки бисёр ҳосилаҳои гуногунро дар бар мегирад, ки мо ҳар рӯз дучор меоем. Фаромуш накун: ҳосила ченаки тез тағир ёфтани чизе мебошад. Дар бораи озмоиши оддӣ фикр кунед. Шумо мармарро болои миз меғелонед ва чен мекунед, ки он ҳар дафъа чӣ қадар ҳаракат мекунад ва чӣ қадар зуд. Акнун тасаввур кунед, ки мармари ғелонда хатти графро пайгирӣ мекунад - шумо ҳосилаҳоро барои чен кардани тағироти фаврӣ дар вақти дилхоҳ истифода мебаред.
   • Мармар то чӣ андоза ҳаракат мекунад? Мавқеи (ё ҳосилаи) мармари ҳаракаткунанда бо кадом суръат тағир меёбад? Мо ин ҳосиларо "суръат" меномем.
   • Мармарро бо нишебӣ печонед ва мушоҳида кунед, ки суръат чӣ гуна тағир меёбад. Суръати тағир ё ҳосилаи суръати мармар чанд аст? Ин ҳосиларо он чизе ки мо "шитоб" меномем.
   • Мармарро бо пайраҳаи мавҷнок, ба монанди ролик, печонед. Ҳангоми чарх задани мармар то куҷо суръат меафзояд ва то куҷо мармар ба баландӣ суст мешавад? Вақте ки нисфи теппаи аввал аст, мармар дақиқан то чӣ андоза зуд меравад? Ин суръати фаврии тағирот ё ҳосилаи он мармар дар он як нуқтаи мушаххас аст.

Қисми 3 аз 3: Дарк кардани интегралҳо

1. Бидонед, ки шумо метавонед таҳлилро барои ёфтани соҳаҳо ва ҳаҷмҳои мураккаб истифода баред. Бо таҳлил шумо метавонед шаклҳои мураккабро чен кунед, ки чен кардани онҳо дар акси ҳол душвор аст. Масалан, масъаларо дида мебароем, ки мехоҳед бидонед, ки як кӯли дарози номунтазам чӣ қадар об дорад - ҳар литр обро алоҳида чен кардан ё истифодаи ченакро барои чен кардани шакли кӯл ғайриимкон аст. Бо таҳлил шумо метавонед омӯзед, ки чӣ гуна тағирёбии канори кӯл тағир меёбад ва сипас бо истифода аз ин маълумот фаҳмед, ки чӣ миқдор об дорад.
   • Таҳияи моделҳои геометрӣ ва омӯзиши ҳаҷмҳо муттаҳид кардан. Ҳисобкунии интегралӣ дуввумин соҳаи муҳими таҳлил мебошад.
2. Бидонед, ки ҳамгироӣ майдони зери граф аст. Интегратсия барои чен кардани фазои зери хат истифода мешавад, ки ба шумо имкон медиҳад, ки масоҳати шаклҳои аҷиб ё номунтазамро муайян кунед. Муодиларо гиред ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Бидонед, ки шумо бояд минтақаро барои ҳамгироӣ интихоб кунед. Шумо наметавонед танҳо як функсияро муттаҳид кунед. Масалан, ${ displaystyle y = x}$Дар бораи чӣ гуна ҳисоб кардани масоҳати росткунҷа фикр кунед. Фарз мекунем, ки шумо дар болои граф хати ҳамвор доред, масалан ${ displaystyle y = 4.}$Бидонед, ки дар ҳисобҳои интегралӣ бисёр росткунҷаҳои хурд якҷоя карда шудаанд, то масоҳати майдонро ёбанд. Вақте ки шумо як каҷро ба таври азим калон мекунед, он як хати рост ба назар мерасад. Шумо инро ҳар рӯз мебинед - шумо қубурии заминро дарк карда наметавонед, зеро шумо ба сатҳи замин хеле наздикед. Интегратсия шумораи беохир росткунҷаҳои хурдро дар зери каҷ эҷод мекунад, ки он қадар хурданд, ки асосан ҳамворанд ва имкон медиҳад, ки онҳоро ҳисоб кунед. Ҳамаи ин росткунҷаҳо, ки дар якҷоягӣ илова карда шудаанд, майдони майдони зери каҷро ташкил медиҳанд.
   • Фарз мекунем, ки шумо дар зери график бисёр сегментҳои хурдро ҷамъ мекунед ва ин паҳнои ҳар як сегмент аст қариб сифр аст.
3. Тарзи дуруст хондан ва навиштани интегралҳоро донед. Интегралҳо аз 4 қисм иборатанд. Интеграли маъмулӣ чунин аст:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Дар бораи дарёфти интегралҳо маълумоти бештар гиред. Интегратсия шаклҳои гуногун дорад ва барои ҳамгиро кардани ҳар як функсия шумо бояд бисёр формулаҳои гуногунро омӯзед. Аммо, ҳамаи онҳо принсипҳои дар боло овардашударо риоя мекунанд: ҳамгироӣ маҷмӯи миқдори беохир аст.
   • Бо ивазкунӣ якҷоя кунед.
   • Интегралҳои номуайянро ҳисоб кунед.
   • Бо мубодила якҷоя кунед.
4. Бидонед, ки ҳамгироӣ баръакси фарқият аст ва баръакс. Ин як қоидаи таҳлили муҳим аст, ки ба он номи худ дода шудааст: теоремаи асосии ҳисобкунии интегралӣ.Азбаски ҳамгироӣ ва тафриқа бо ҳам зич алоқаманданд, омезиши ин ду метавонад барои муайян кардани суръати тағирот, шитоб, суръат, ҷойгоҳ, ҳаракат ва ғайра, новобаста аз он ки кадом маълумот доред, истифода бурдан мумкин аст.
   • Масалан, дар хотир доред, ки ҳосилаи суръат шитоб аст, бинобар ин шумо метавонед суръатро барои ёфтани шитоб истифода кунед. Аммо агар шумо фақат суръатфизоии чизеро донед (масалан, ашё аз таъсири вазнинӣ афтод), пас шумо метавонед барои барқарор кардани суръат муттаҳид шавед!
5. Бидонед, ки бо ҳамгироӣ шумо метавонед ҳаҷми объектҳои 3D-ро низ назорат кунед. Гардиши шакли ҳамвор яке аз роҳҳои сохтани ҷисмҳои 3Д мебошад. Тасаввур кунед, ки танга дар рӯи миз чарх мезанад - аҳамият диҳед, ки чӣ гуна танга ҳангоми чархидан шакли кураро мегирад. Ин мафҳум ба шумо имкон медиҳад, ки ҳаҷмро аз рӯи раванде, ки бо номи "ҳаҷми гардиш" маъруф аст, муайян кунед.
   • Ин ба шумо имкон медиҳад, ки ҳаҷми ягон ҷисми сахтро муайян кунед, ба шарте ки шумо функсияе дошта бошед, ки онро ифода мекунад. Масалан, шумо метавонед функсияе эҷод кунед, ки қаъри кӯлро пайгирӣ мекунад ва сипас бо истифода аз он ҳаҷми кӯл ё чӣ қадар об доштани онро муайян кунед.

Маслиҳатҳо

• Амалия комил аст, аз ин рӯ машқҳои амалиро дар китоби дарсии худ иҷро кунед - ҳатто он чизе ки муаллиматон надодааст - ва ҷавобҳои худро санҷед, то ба шумо дарки мафҳумҳо беҳтар шавад.
• Агар ҳалли худро ёфта натавонед, аз муаллиматон пурсед.