Мундариҷа

• Қадамҳо
• Қисми 1 аз 3: Биномҳои факторингӣ
• Қисми 2 аз 3: Факторинги биномҳо барои ҳалли муодилаҳо
• Қисми 3 аз 3: Ҳалли мушкилоти мураккаб
• Маслиҳатҳо
• Огоҳӣ

Биномия (биномия) як ифодаи математикӣ бо ду истилоҳест, ки дар байни онҳо аломати плюс ё минус мавҷуд аст, масалан, ${ Displaystyle ax + b}$... Аъзои якум тағирёбандаро дар бар мегирад ва дуввум онро дар бар мегирад ё дар бар намегирад. Факторинги биномалӣ ёфтани истилоҳотро дар бар мегирад, ки ҳангоми зарб кардан биномали аслиро барои ҳал ё содда кардани он истеҳсол мекунанд.

Қадамҳо

Қисми 1 аз 3: Биномҳои факторингӣ

1. 1 Асосҳои раванди факторингро фаҳмед. Ҳангоми факторинги биномӣ, омиле, ки тақсимкунандаи ҳар як истилоҳи биноми аслӣ аст, аз қавс хориҷ карда мешавад. Масалан, рақами 6 комилан ба 1, 2, 3, 6 тақсим мешавад. Ҳамин тариқ, тақсимкунандагони рақами 6 рақамҳои 1, 2, 3, 6 мебошанд.
   • Тақсимкунандагон 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Тақсимкунандагони ҳар як рақам 1 ва худи рақам мебошанд. Масалан, тақсимкунандагони 3 1 ва 3 мебошанд.
   • Тақсимкунандагони бутун метавонанд танҳо ададҳо бошанд. Рақами 32 -ро метавон ба 3.564 ё 21.4952 тақсим кард, аммо шумо на ададро, балки касри даҳиро мегиред.
2. 2 Барои осон кардани раванди факторинг шартҳои биномиро фармоиш диҳед. Биномия ҷамъ ё фарқияти ду истилоҳ аст, ки ҳадди аққал яке аз онҳо тағирёбанда дорад. Баъзан тағирёбандаҳо ба қудрат оварда мешаванд, масалан, ${ Displaystyle x ^ {2}}$ ё ${ Displaystyle 5y ^ {4}}$... Беҳтар аст, ки шартҳои биномалиро бо тартиби афзояндаи экспонентҳо фармоиш диҳед, яъне истилоҳ бо нишондиҳандаи хурдтарин аввал ва бо калонтарин - охирин навишта мешавад. Барои намуна:
   • ${ Displaystyle 3t + 6}$ → ${ Displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ Displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ Displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ Displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Ба аломати минус дар назди 2 аҳамият диҳед. Агар истилоҳ аз он хориҷ карда шавад, дар назди он аломати минус нависед.
3. 3 Бузургтарин тақсимкунандаи умумии (GCD) ҳарду истилоҳро ёбед. GCD бузургтарин рақамест, ки ба он ҳарду аъзои биномиал тақсим мешаванд. Барои ин кор, тақсимкунандагони ҳар як истилоҳро дар биномия пайдо кунед ва сипас бузургтарин тақсимкунандаи умумиро интихоб кунед. Барои намуна:
   • Вазифа:${ Displaystyle 3t + 6}$.
     • Тақсимкунандагон 3: 1, 3
     • Тақсимкунандагон 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Ҳар як истилоҳро дар биномия ба бузургтарин тақсимкунандаи умумӣ (GCD) тақсим кунед. Инро барои бартараф кардани GCD иҷро кунед. Дар хотир доред, ки ҳар як узви биномӣ кам мешавад (зеро он тақсимшаванда аст), аммо агар GCD аз қавс хориҷ карда шавад, ифодаи ниҳоӣ ба ифодаи аслӣ баробар хоҳад буд.
   • Вазифа:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD -ро пайдо кунед: 3
   • Ҳар як истилоҳи биномиро ба gcd тақсим кунед:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Тақсимкунандаро аз қавс хориҷ кунед. Пештар шумо ҳарду истилоҳи биномиро ба тақсимкунандаи 3 тақсим карда, ба даст овардед ${ Displaystyle t + 2}$... Аммо шумо наметавонед аз 3 халос шавед - барои баробар шудани қиматҳои ифодаҳои ибтидоӣ ва ниҳоӣ, шумо бояд 3 -ро берун аз қавс гузоред ва ифодаи дар натиҷаи тақсимшавӣ дар қавс навишташударо нависед. Барои намуна:
   • Вазифа:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD -ро пайдо кунед: 3
   • Ҳар як истилоҳи биномиро ба gcd тақсим кунед:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Тақсимкунандаро бо ифодаи натиҷа зарб кунед:${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Ҷавоб: ${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Ҷавоби худро тафтиш кунед. Барои ин, истилоҳи пеш аз қавсро ба ҳар як истилоҳи дохили қавс зарб кунед. Агар шумо биноми аслиро гиред, ҳалли дуруст аст. Акнун мушкилотро ҳал кунед ${ Displaystyle 12t + 18}$:
   • Ба аъзоён фармон диҳед:${ Displaystyle 18 + 12t}$
   • GCD -ро пайдо кунед:${ Displaystyle 6}$
   • Ҳар як истилоҳи биномиро ба gcd тақсим кунед:${ Displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Тақсимкунандаро бо ифодаи натиҷа зарб кунед:${ Displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Ҷавобро тафтиш кунед:${ Displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Қисми 2 аз 3: Факторинги биномҳо барои ҳалли муодилаҳо

1. 1 Омили биномия барои содда кардани он ва ҳалли муодила. Дар назари аввал, ҳалли баъзе муодилаҳо ғайриимкон менамояд (хусусан бо биномҳои мураккаб). Масалан, муодиларо ҳал кунед ${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Дар ин муодила қудратҳо мавҷуданд, аз ин рӯ аввал ифодаро ба назар гиред.
   • Вазифа:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Дар хотир доред, ки як биномал ду узв дорад. Агар ифода истилоҳҳои бештарро дар бар гирад, тарзи ҳал кардани полиномаҳоро омӯзед.
2. 2 Ба ҳар ду тарафи муодила баъзе мономияҳоро илова ё хориҷ кунед, то сифр дар як тарафи муодила боқӣ монад. Дар мавриди факторизатсия, ҳалли муодилаҳо ба он далели тағйирнопазир асос ёфтааст, ки ҳар як ифодаи ба сифр зарбшуда ба сифр баробар аст. Аз ин рӯ, агар мо муодиларо ба сифр баробар кунем, пас ягон омили он бояд ба сифр баробар бошад. Як тарафи муодиларо ба 0 таъин кунед.
   • Вазифа:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ба сифр таъин кунед:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Қуттии натиҷаро омил кунед. Инро тавре ки дар боби гузашта тавсиф шудааст, иҷро кунед. Омили бузургтарини умумиро (GCD) ёбед, ҳарду истилоҳи биномияро ба он тақсим кунед ва баъд омилро аз қавс хориҷ кунед.
   • Вазифа:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ба сифр таъин кунед:${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Омил:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Ҳар як омилро ба сифр гузоред. Дар ифодаи натиҷа 2y ба 4 - y зарб карда мешавад ва ин маҳсулот ба сифр баробар аст. Азбаски ҳама гуна ифода (ё истилоҳ) ба сифр зарбшуда сифр аст, пас 2y ё 4 - y 0 аст. Барои ёфтани "y" мономия ва биномиалии натиҷаро ба сифр таъин кунед.
   • Вазифа:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Ба сифр таъин кунед:${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Омил:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Ҳарду омилро ба 0 таъин кунед:
     • ${ Displaystyle 2y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Муодилаҳои ҳосилшударо барои ёфтани ҷавоби ниҳоӣ (ё ҷавобҳо) ҳал кунед. Азбаски ҳар як омил ба сифр баробар аст, муодила метавонад якчанд ҳалли худро дошта бошад. Дар мисоли мо:
   • ${ Displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Ҷавоби худро тафтиш кунед. Барои ин, қиматҳои ёфтшударо ба муодилаи аслӣ иваз кунед. Агар баробарӣ дуруст бошад, пас қарор дуруст аст. Ба ҷои "y" қиматҳои ёфтшударо иваз кунед. Дар мисоли мо, y = 0 ва y = 4:
   • ${ Displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ Displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ Displaystyle 0 = 0}$Ин қарори дуруст аст
   • ${ Displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ Displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ Displaystyle -12 = -12}$Ва ин қарори дуруст аст

Қисми 3 аз 3: Ҳалли мушкилоти мураккаб

1. 1 Дар хотир доред, ки истилоҳи тағирёбанда инчунин метавонад ба факторизатсия карда шавад, ҳатто агар тағирёбанда ба қудрат расонида шавад. Ҳангоми факторинг ба шумо лозим аст, ки мономиеро ёбед, ки ҳар як узви биномиро ба таври интегралӣ тақсим кунад. Масалан, мономия ${ Displaystyle x ^ {4}}$ омил кардан мумкин аст ${ Displaystyle x * x * x * x}$... Яъне, агар истилоҳи дуввуми биномия низ тағирёбандаи "x" -ро дар бар гирад, пас "x" -ро аз қавс гирифтан мумкин аст. Ҳамин тариқ, тағирёбандаҳоро ҳамчун ададҳо ҳисоб кунед. Барои намуна:
   • Ҳарду аъзои биномия ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ дорои "t" аст, бинобар ин "t" -ро аз қавс хориҷ кардан мумкин аст: ${ Displaystyle t (2 + t)}$
   • Инчунин, тағирёбандаро, ки ба қудрат оварда шудааст, аз қавс хориҷ кардан мумкин аст. Масалан, ҳарду узви биномӣ ${ Displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ дар бар гирад ${ Displaystyle x ^ {2}}$, ҳамин тавр ${ Displaystyle x ^ {2}}$ мумкин аст аз қавс хориҷ карда шавад: ${ Displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Барои гирифтани бинома истилоҳҳои шабеҳро илова ё хориҷ кунед. Масалан, бо назардошти ифода ${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Дар назари аввал, ин як полином аст, аммо дар асл, ин ибораро метавон ба биномия табдил дод. Истилоҳҳои шабеҳро илова кунед: 6 ва 14 (тағирёбанда надоранд) ва 2x ва 3x (дорои ҳамон тағирёбандаи "x"). Дар ин ҳолат, раванди факторинг содда карда мешавад:
   • Ифодаи аслӣ:${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Ба аъзоён фармон диҳед:${ Displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Шартҳои монандро илова кунед:${ Displaystyle 5x + 20}$
   • GCD -ро пайдо кунед:${ Displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Омил:${ Displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Омили фарқияти квадратҳои комил. Майдони комил рақамест, ки решаи квадраташ бутун аст, масалан ${ Displaystyle 9}$${ Displaystyle (3 * 3)}$, ${ Displaystyle x ^ {2}}$${ Displaystyle (x * x)}$ ва ҳатто ${ Displaystyle 144t ^ {2}}$${ Displaystyle (12t * 12t)}$... Агар биномия фарқи квадратҳои комил бошад, масалан, ${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, он гоҳ аз рӯи формулаи омилҳо ҳисоб карда мешавад:
   • Фарқи формулаи квадратҳо:${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Вазифа:${ Displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Решаҳои квадратиро хориҷ кунед:
     • ${ Displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Арзишҳои ёфтшударо ба формула иваз кунед: ${ Displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Омили фарқияти байни мукаабҳои мукаммал. Агар биномия фарқи кубҳои мукаммал бошад, масалан, ${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, он гоҳ бо истифода аз формулаи махсус ба факторизатсия карда мешавад. Дар ин ҳолат, решаи кубро аз ҳар як узви биномӣ ҷудо кардан ва арзишҳои ёфтшударо ба формула иваз кардан лозим аст.
   • Формула барои фарқи байни кубҳо:${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Вазифа:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Баровардани решаҳои кубӣ:
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Арзишҳои ёфтшударо ба формула иваз кунед: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Ба маблағи мукаабҳои пурра омил кунед. Баръакси маблағи квадратҳои мукаммал, маблағи кубҳои мукаммал, масалан, ${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, бо истифода аз формулаи махсус омил кардан мумкин аст. Он ба формулаи фарқи байни кубҳо шабеҳ аст, аммо аломатҳо баръакс мебошанд. Формула хеле содда аст - барои истифодаи он, миқдори мукаабҳои пурраи масъаларо пайдо кунед.
   • Формула барои маблағи кубҳо:${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Вазифа:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Баровардани решаҳои кубӣ:
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Арзишҳои ёфтшударо ба формула иваз кунед: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Маслиҳатҳо

• Баъзан аъзоёни биномӣ тақсимкунандаи умумӣ надоранд. Дар баъзе вазифаҳо аъзоён дар шакли соддакардашуда пешниҳод карда мешаванд.
• Агар шумо фавран GCD -ро пайдо карда натавонед, бо тақсим кардани рақамҳои хурд оғоз кунед. Масалан, агар шумо намебинед, ки GCD -и рақамҳои 32 ва 16 16 аст, ҳарду рақамро ба 2 тақсим кунед. Шумо 16 ва 8 мегиред; ин рақамҳоро метавон ба 8 тақсим кард. Ҳоло шумо 2 ва 1 мегиред; ин рақамҳоро кам кардан мумкин нест. Ҳамин тариқ, возеҳ аст, ки шумораи калонтар вуҷуд дорад (дар муқоиса бо 8 ва 2), ки тақсимкунандаи умумии ду рақами додашуда мебошад.
• Дар хотир доред, ки истилоҳҳои тартиби шашум (бо нишондиҳандаи 6, масалан x) ҳам квадратҳои мукаммал ва ҳам мукаабҳои комил мебошанд. Ҳамин тариқ, ба биномҳо бо истилоҳҳои тартиби шашум, масалан, x - 64, метавон формулаҳои фарқи квадратҳо ва фарқи кубҳоро истифода бурд (бо ҳар тартиб). Аммо беҳтар аст, ки аввал формулаи фарқи квадратҳоро истифода баред, то бо биномия дурусттар пусед.

Огоҳӣ

• Биномаро, ки маблағи квадратҳои мукаммал аст, наметавон ба факториҳо тақсим кард.