Мундариҷа

• Қадамҳо

Муодилаи тригонометрӣ як ё якчанд функсияҳои тригонометрии тағирёбандаи "x" (ё дигар тағирёбандаро) дар бар мегирад. Ҳал кардани муодилаи тригонометрӣ ёфтани чунин арзиши "x" аст, ки функсия (ҳо) ва муодиларо дар маҷмӯъ қонеъ мекунад.

• Ҳалли муодилаҳои тригонометрӣ бо дараҷаҳо ё радианҳо ифода карда мешаванд. Намунаҳо:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 дараҷа; x = 37.12 дараҷа; x = 178,37 дараҷа.

• Эзоҳ: қиматҳои функсияҳои тригонометрӣ аз кунҷҳое, ки бо радианҳо ифода карда мешаванд ва аз кунҷҳои бо дараҷаҳо ифодаёфта баробаранд. Доираи тригонометрии радиусаш ба як баробар барои тавсифи функсияҳои тригонометрӣ, инчунин дурустии ҳалли муодилаҳои асосии тригонометрӣ ва нобаробарӣ истифода мешавад.
• Намунаҳои муодилаҳои тригонометрӣ:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2син 2х + кос х = 1.

1. Доираи тригонометрӣ бо радиуси як (доираи воҳид).
   • Ин доираест, ки радиусаш ба як ва марказаш дар нуқтаи О баробар аст. Доираи воҳид 4 функсияи асосии тригонометрии тағирёбандаи "x" -ро тавсиф мекунад, ки дар он "x" кунҷест, ки аз самти мусбати меҳвари X бо самти муқобили соат чен карда мешавад.
   • Агар "x" як кунҷе дар доираи воҳид бошад, пас:
   • Тири меҳвари уфуқии OAx функсияи F (x) = cos x -ро муайян мекунад.
   • Тири меҳвари амудии OBy функсияи F (x) = sin x -ро муайян мекунад.
   • Тири меҳвари амудии AT функсияи F (x) = tan x -ро муайян мекунад.
   • Тири меҳвари уфуқӣ BU функсияи F (x) = ctg x -ро муайян мекунад.

• Доираи воҳид инчунин барои ҳалли муодилаҳои асосии тригонометрӣ ва нобаробарӣ истифода мешавад (дар он мавқеъҳои гуногуни "x" баррасӣ карда мешаванд).

Қадамҳо

1. 1 Консепсияи ҳалли муодилаҳои тригонометрӣ.
   • Барои ҳалли муодилаи тригонометрӣ онро ба як ё якчанд муодилаҳои асосии тригонометрӣ табдил диҳед. Ҳал кардани муодилаи тригонометрӣ дар ниҳоят ба ҳалли чор муодилаи асосии тригонометрӣ меояд.
2. 2 Ҳал кардани муодилаҳои асосии тригонометрӣ.
   • 4 намуди муодилаҳои асосии тригонометрӣ мавҷуданд:
   • гуноҳ x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Ҳал кардани муодилаҳои асосии тригонометрӣ аз назар гузаронидани мавқеъҳои х -и гуногун дар доираи воҳид ва истифодаи ҷадвали табдили (ё ҳисобкунак) иборат аст.
   • Мисоли 1.sin x = 0.866. Бо истифода аз ҷадвали табдили (ё калкулятор), шумо ҷавоб мегиред: x = π / 3. Доираи воҳид ҷавоби дигар медиҳад: 2π / 3. Дар хотир доред: ҳама функсияҳои тригонометрӣ даврӣ мебошанд, яъне арзишҳои онҳо такрор мешаванд. Масалан, даврияти син x ва cos x 2πn ва даврии tg x ва ctg x πn аст. Аз ин рӯ, ҷавоб чунин навишта шудааст:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Мисоли 2. cos x = -1/2. Бо истифода аз ҷадвали табдили (ё калкулятор), шумо ҷавоб мегиред: x = 2π / 3. Доираи воҳид ҷавоби дигар медиҳад: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Мисоли 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Ҷавоб: x = π / 4 + πn.
   • Мисоли 4. ctg 2x = 1.732.
   • Ҷавоб: x = π / 12 + πn.
3. 3 Трансформатсияҳое, ки барои ҳалли муодилаҳои тригонометрӣ истифода мешаванд.
   • Барои табдил додани муодилаҳои тригонометрӣ, тағироти алгебравӣ (факторизатсия, кам кардани истилоҳҳои якхела ва ғайра) ва ҳувияти тригонометрӣ истифода мешаванд.
   • Мисоли 5. Бо истифода аз шахсиятҳои тригонометрӣ, муодилаи sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ба муодилаи 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 табдил дода мешавад. Ҳамин тариқ, шумо бояд муодилаҳои асосии тригонометриро ҳал кунед: cos x = 0; гуноҳ (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Ҷустуҷӯи кунҷҳо аз қиматҳои маълуми функсияҳо.
   • Пеш аз омӯзиши усулҳои ҳалли муодилаҳои тригонометрӣ, шумо бояд тарзи пайдо кардани кунҷҳоро аз қиматҳои маълуми функсияҳо омӯзед. Инро метавон бо истифода аз ҷадвали конверсия ё калкулятор анҷом дод.
   • Мисол: cos x = 0.732. Ҳисобкунак ба x = 42.95 дараҷа ҷавоб медиҳад. Доираи воҳид кунҷҳои иловагӣ медиҳад, ки косинуси он низ 0.732 аст.
5. 5 Ҳалли худро дар доираи воҳид ҷудо кунед.
   • Шумо метавонед ҳалли муодилаи тригонометриро дар доираи воҳидҳо мавқуф гузоред. Ҳалли муодилаи тригонометрӣ дар доираи воҳидҳо қуллаҳои бисёркунҷаи муқаррарӣ мебошанд.
   • Мисол: Ҳалҳои x = π / 3 + πn / 2 дар ҳалқаи воҳидҳо қуллаҳои як квадрат мебошанд.
   • Мисол: Ҳалҳои x = π / 4 + πn / 3 дар доираи воҳиди қуллаҳои шашкунҷаи муқаррариро ифода мекунанд.
6. 6 Усулҳои ҳалли муодилаҳои тригонометрӣ.
   • Агар муодилаи тригии додашуда танҳо як функсияи триггер дошта бошад, он муодиларо ҳамчун муодилаи асосии триг ҳал кунед.Агар муодилаи додашуда ду ё зиёда функсияҳои тригонометриро дар бар гирад, пас 2 усули ҳалли ин муодила вуҷуд дорад (вобаста ба имкони табдилёбии он).
     • Усули 1.
   • Ин муодиларо ба муодилаи шакл табдил диҳед: f (x) * g (x) * h (x) = 0, ки f (x), g (x), h (x) муодилаҳои асосии тригонометрӣ мебошанд.
     
     
   • Мисол 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Ҳал. Бо истифода аз формулаи кунҷи дугона sin 2x = 2 * sin x * cos x, sin 2x -ро иваз кунед.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Ҳоло ду муодилаи асосии тригонометриро ҳал кунед: cos x = 0 ва (sin x + 1) = 0.
   • Мисоли 7. кос x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Ҳал: Бо ёрии шахсиятҳои тригонометрӣ ин муодиларо ба муодилаи шакл табдил диҳед: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Ҳоло ду муодилаи асосии тригонометриро ҳал кунед: cos 2x = 0 ва (2cos x + 1) = 0.
   • Мисоли 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Ҳал: Истифодаи шахсиятҳои тригонометрӣ, ин муодиларо ба муодилаи шакл табдил диҳед: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Ҳоло ду муодилаи асосии тригонометриро ҳал кунед: cos 2x = 0 ва (2sin x + 1) = 0.
     • Усули 2.
   • Муодилаи тригонометрии додашударо ба муодилаи дорои танҳо як функсияи тригонометрӣ табдил диҳед. Сипас ин функсияи тригонометриро бо баъзе номаълум иваз кунед, масалан t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t ва ғайра).
   • Мисол 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Ҳал. Дар ин муодила, (cos ^ 2 x) -ро бо (1 - sin ^ 2 x) (аз рӯи шахсият) иваз кунед. Муодилаи табдилшуда чунин аст:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x -ро бо t иваз кунед. Ҳоло муодила чунин ба назар мерасад: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ин як муодилаи квадратӣ бо ду реша аст: t1 = -1 ва t2 = 9/5. Решаи дуввуми t2 доираи арзишҳои функсияро қонеъ намекунад (-1 sin x 1). Акнун тасмим гиред: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Мисоли 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Ҳал. Tg x -ро ба t иваз кунед. Муодилаи аслиро ба таври зерин нависед: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Ҳоло t -ро ё x -ро барои t = tg x пайдо кунед.
7. 7 Муодилаҳои махсуси тригонометрӣ.
   • Якчанд муодилаҳои махсуси тригонометрӣ мавҷуданд, ки тағироти мушаххасро талаб мекунанд. Намунаҳо:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Давраи функсияҳои тригонометрӣ.
   • Тавре ки қаблан зикр кардем, ҳама функсияҳои тригонометрӣ даврӣ мебошанд, яъне қиматҳои онҳо пас аз як давраи муайян такрор мешаванд. Намунаҳо:
     • Давраи функсияи f (x) = sin x 2π аст.
     • Давраи функсияи f (x) = tan x ба π баробар аст.
     • Давраи функсияи f (x) = sin 2x π аст.
     • Давраи функсияи f (x) = cos (x / 2) 4π аст.
   • Агар давра дар масъала нишон дода шуда бошад, дар ин давра арзиши "x" -ро ҳисоб кунед.
   • Эзоҳ: Ҳал кардани муодилаҳои тригонометрӣ кори осон нест ва аксар вақт боиси хатогиҳо мешавад. Пас, ҷавобҳои худро бодиққат тафтиш кунед. Барои ин шумо метавонед калкуляторҳои графикиро истифода бурда, муодилаи додашудаи R (x) = 0 -ро истифода баред. Дар чунин мавридҳо ҳалли онҳо ҳамчун касрҳои даҳӣ пешниҳод карда мешаванд (яъне π бо 3.14 иваз карда мешавад).